Μαθηματικά και Μουσικά Διαστήματα -

Σκοπός Μαθήματος

Ξεκινήσαμε να συζητάμε τη σχέση μεταξύ συχνότητας, τονικού ύψους και νοτών στη δραστηριότητα Κατανόηση του Tονικού Ύψους με το iMuSciCA. Εδώ θα εμβαθύνουμε στο πώς σχετίζονται μεταξύ τους μαθηματικά οι νότες και πώς αυτές οι μαθηματικές σχέσεις αντιστοιχούν σε διαφορετικά μουσικά-αισθητικά χαρακτηριστικά.

Το βασικότερο μουσικό διάστημα: η οκτάβα

Έχετε ακούσει τον όρο οκτάβα;

Οκτάβα είναι ένα μουσικό διάστημα. Για παράδειγμα, το διάστημα δύο εκδοχών της νότας Λα σε διαφορετικό τονικό ύψος, της Λα4 και της Λα5:

$f_{Λα4} = 440Hz,$

$f_{Λα5} = 880Hz.$

Λέμε ότι η αυτές οι δύο νότες έχουν σχέση 2:1. Γενικότερα η οκτάβα αφορά το διάστημα δύο νοτών που η μία έχει διπλάσια συχνότητα της άλλης. Στο παράδειγμά μας:

$f_{Λα5} = 2 \cdot f_{Λα4}$

Άλλα μουσικά διαστήματα

Όλα τα υπόλοιπα διαστήματα καθορίζονται από αυτή τη βασική σχέση στη δυτική μουσική παράδοση. Ακολουθώντας λοιπόν το πρότυπο της λεγόμενης χρωματικής κλίμακας, διαιρούμε μία οκτάβα σε 12 επιμέρους διαστήματα. Το μικρότερο διάστημα αντιστοιχεί στο 1/12 της οκτάβας και ονομάζεται ημιτόνιο. Έτσι δεδομένου ότι σε διάστημα ενός ημιτονία από τη Λα βρίσκεται η Λα#, η σχέση συχνοτήτων των δύο νοτών περιγράφεται από τον τύπο:

$f_{Λα\#} = 2^{(1/12)} \cdot f_{Λα}$

Έτσι κουρδίζεται και ένα πιάνο. Μπορείτε παρακάτω να παίξετε για παράδειγμα ένα οποιοδήποτε λευκό πλήκτρο και το αμέσως διπλανό μαύρο. Πάντα το διάστημα μεταξύ αυτών των πλήκτρων είναι ένα ημιτόνιο.

Σημείωση για τη μουσική στο Βυζάντιο

Η Βυζαντινή μουσική χωρίζει την οκτάβα, όχι σε 12, αλλά σε 72 μόρια.

Θεωρείται γενικώς αποδεκτό ότι το μουσικό διάστημα που ακούγεται πιο «ευχάριστα» στα αυτιά μας είναι η 5η καθαρή, δηλαδή το διάστημα 7 ημιτονίων μεταξύ δύο νοτών i και j. Στο πιάνο παραπάνω αν η νότα i είναι η C (βλ. Ντο) ποια θα είναι η νότα j;

Απάντηση

Μετρώντας 7 πλήκτρα ξεκινώτας αμέσως μετά το πλήκτρο C βρίκουμε ότι:

j = G

Παίξτε τώρα με το εικονικό πιάνο τις δύο νότες C (Ντο) και G (Σολ), τη μία μετά την άλλη.

Η σχέση συνχνοτήτων μεταξύ των δύο νοτών περιγράφεται από την παρακάτω εξίσωση:

$f_{j} = 2^{(7/12)} \cdot f_{i}$

Μπορούμε να υπολογίσουμε ότι 2^(7/12) = 1,498. Προσεγγιστικά δηλδαδή1,5 ή αλλιώς 3/2.

Λίγα μαθηματικά ακόμα για σαφήνεια

Πιο απλά λοιπόν η σχέση των δύο συχνοτήτων αποτυπώνεται ως εξής:

f_{j} = 1,5 \cdot f_{i} = \frac{3}{2} \cdot f_i

Άρα:

2 f_{j} = 3 f_i

Άρα, προσεγγιστικά, αυτές οι δύο νότες έχουν μία σχέση αναλογίας 3:2 (διαβάζεται: τρία προς δύο).

Αντίθετα, το διάστημα που χωρίζεται από 6 ημιτόνια λέγεται τρίτονο και κατά γενική παραδοχή θεωρείται ότι ηχεί πιο «δυσάρεστα» από τα υπόλοιπα. Μάλιστα πριν από αιώνες είχε χαρακτηριστεί και ως diabolus in musica (στα ελληνικά τρίτονο του διαβόλου) καθώς ήταν συνδεδεμένο με τη μοχθηρία.

Μύθοι και αλήθειες

Ένας μύθος που ακούγεται είναι ότι κάποτε απαγορευόταν να παίζεται το τρίτονο από την καθολική εκκλησία γιατί, υποτίθεται, ότι σχετιζόταν με τον σατανά. Αυτό δεν ισχύει. Όντως κατά κανόνα θεωρούταν δυσαρμονικό (ή «διάφωνο») διάστημα και κρινόταν ότι ήταν δύσκολο να τραγουδηθεί. Χρησιμοποιούταν πάντως ακόμα και σε χριστουγεννιάτικους εκκλησιαστικούς ύμνους.

Ποια θα είναι αντίστοιχα η σχέση συχνοτήτων για δύο νότες αυτού του διαστήματος;

$f_{j} = 2^{(6/12)} \cdot f_{i} = \sqrt{2} \cdot f_i$

Κάτι που μπορεί να κινήσει την περιέργεια κάποιου είναι το γεγονός ότι ο αριθμός √2 είναι άρρητος. Αντίθετα, όπως κάθε αριθμός που μπορεί να αναπαρασταθεί σαν κλάσμα (π.χ. το 1,5) είναι ρητός. Αυτός είναι άλλωστε ο ορισμός των ρητών αριθμών.

Αυτή η παρατήρηση μάς οδηγεί σε μία ενδιαφέρουσα υπόθεση, ότι δηλαδή μια σχέση αναλογίας συχνοτήτων που εκφράζεται με ρητούς αριθμούς μπορεί να ηχεί «καλύτερα» από ότι με έναν άρρητο. Η σκέψη αυτή ενισχύεται και από την περίπτωση ενός άλλου διαστήματος που θεωρείται σύμφωνο, αυτό της μείζονος τρίτης που χωρίζεται από 4 ημιτόνια. Ποιος τύπος περιγράφει αυτή τη σχέση;

Απάντηση

f_{j} = 2^{(4/12)} \cdot f_{i} \approx 1.26 f_i = \frac{5}{4} f_i

Άρα έχουμε μια σχέση 5:4.

Μαθηματικά, φυσική και… συναίσθημα

Γιατί όμως να παίζει τόσο καθοριστικό ρόλο η διάκριση μεταξύ ρητού και άρρητου αριθμού στη συχνοτική σχέση των διαστημάτων; Δεν υπάρχει τίποτε το «μαγικό» πίσω από αυτό το φαινόμενο. Ας πάρουμε αρχικά το παράδειγμα της 5ης καθαρής. Στο περιβάλλον Συνθετητής Ήχων της πλατφόρμας iMuSciCa, δημιουργούμε δύο εικονικές πηγές ταλάντωσης. Μία για τη νότα Ντο (262 Hz) και μία για τη Σoλ (392 Hz).

Κυματομορφή του σύνθετου κύματος που παράγεται όταν οι νότες Ντο και Σολ παίζονται ταυτόχρονα.
Εμφάνιση κυματομορφής της Ντο.
Κυματομορφή της Σολ.

Θα πρέπει να ακούτε αυτό τον ήχο αν παίξετε και τις δύο νότες μαζί:

Παρατηρώντας την κυματομορφή του σύνθετου κύματος (μάυρο χρώμα) εντοπίζουμε ένα μοτίβο που επαναλαμβάνεται ανά τακτά βήματα στον άξονα Χ (αντιστοιχεί στον χρόνο). Περνώντας από slide σε slide μπορούμε να συγκρίνουμε τις δύο επιμέρους ημιτονοειδείς κυματομορφές των νοτών Ντο και Σολ με το σύνθετο κύμα που παράγεται όταν αυτές παίζονται ταυτόχρονα.

Παρατηρούμε ότι ανά 2 επαναλήψεις του μοτίβου της Ντο έχουμε μια επανάληψη του μοτίβου του σύνθετου κύματος, και όμοια ανά 3 επαναλήψεις του μοτίβου της Σολ. Με όρους κυματικής φυσικής λέμε ότι το σύνθετο κύμα μας έχει διπλάσια (x2) περίοδο από τη Ντο και τριπλάσια (x3) από τη Σολ. Θυμίζουμε ότι οι δύο αυτές νότες έχουν σχέση συχνοτήτων 3:2. Προφανώς δεν πρόκειται για τυχαίο γεγονός. Ουσιαστικά tο μοτίβο του σύνθετου κύματος επαναλαμβάνεται κάθε στιγμή που οι συναντιούνται στον άξονα Χ οι κυματομορφές της Ντο και της Σολ.

Άσκηση

Δοκιμάστε με το εργαλείο Συνθετητής Ήχων να δημιουργήσετε το μουσικό διάστημα της μείζονος τρίτης (4 ημτιόνια). Διαλέξετε σαν πρώτη πηγή ταλάντωσης πάλι τη νότα Ντο (262 Hz). Ποια νότα πρέπει να επιλέξουμε για το εν λόγω διάστημα; Ποια η σχέση της περιόδου κάθε νότας με το σύνθετο κύμα που παράγεται όταν παίζονται ταυτόχρονα.

Αν αντί της Σολ (392 Hz) επιλέξουμε τη Φα# (370 Hz), τότε μπορούμε να οπτικοποιήσουμε και να ακούσουμε το τρίτονο του διαβόλου. Αν κοιτάξουμε προσκετικά, παρατηρούμε ότι η κυματομορφή δεν παρουσιάζει ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο. Άρα δεν μπορούμε να μιλάμε καν για περίοδο· το παραγόμενο σύνθετο κύμα δεν είναι λοιπόν περιοδικό όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Εδώ, οι κυματομορφές της Ντο και της Φα δεν συναντιούνται στον άξονα Χ. Η σχέση συχντοτητήτων τους (ο άρρητος √2) εξ ορισμού δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα.

Η μη-περιοδικότητα του εν λόγω κύματος είναι καθώς φαίνεται το βασικό στοιχείο που κάνει αυτό το διάστημα να μας «ξενίζει».