Σκοπός του Μαθήματος
Ξεκινήσαμε να συζητάμε τη σχέση μεταξύ συχνότητας, τονικού ύψους και νοτών στη δραστηριότητα Κατανόηση του Tονικού Ύψους με το iMuSciCA. Εδώ θα εμβαθύνουμε στο πώς σχετίζονται μεταξύ τους μαθηματικά οι νότες και πώς αυτές οι μαθηματικές σχέσεις αντιστοιχούν σε διαφορετικά μουσικά-αισθητικά χαρακτηριστικά.
Το βασικότερο μουσικό διάστημα: η οκτάβα
Έχετε ακούσει τον όρο οκτάβα;
Κάθε νότα μπορεί να παιχτεί σε πολλές διαφορετικές οκτάβες. Μπορούμε να δούμε, για παράδειγμα, δύο διακριτές εκδοχές της νότας Λα σε διαφορετική οκτάβα, δηλαδή σε διαφορετικό τονικό ύψος (ή συχνότητα). Αν θέλουμε να δείξουμε συγκεκριμένα σε ποια Λα αναφερόμαστε, μπορούμε να βάλουμε έναν αναγνωριστικό αριθμό δίπλα στηο όνομα της νότας. Ας δούμε λοιπόν παρακάτω τις συχνότητες της Λα4 και της Λα5:
f_{Λα4} = 440Hz,
f_{Λα5} = 880Hz.
Για να είμαστε ακριβείς, oκτάβα είναι ένα μουσικό διάστημα. Λέμε ότι οι παραπάνω δύο νότες έχουν λόγο 2:1. Γενικότερα η οκτάβα αναφέρεται στο διάστημα δύο νοτών που η μία έχει διπλάσια συχνότητα της άλλης. Στο παράδειγμά μας:
f_{Λα5} = 2 \cdot f_{Λα4}
Περισσότερα για το διάστημα της οκτάβας μπορείτε να διαβάσετε στο δεύτερο μέρος της παρούσας Δραστηριότητας: Μαθηματικά και Μουσικά Διαστήματα Μέρος ΙΙ.
Άλλα μουσικά διαστήματα
Όλα τα υπόλοιπα διαστήματα καθορίζονται από αυτή τη βασική σχέση στη δυτική μουσική παράδοση. Ακολουθώντας λοιπόν το πρότυπο της λεγόμενης χρωματικής κλίμακας, διαιρούμε μία οκτάβα σε 12 επιμέρους διαστήματα. Το μικρότερο διάστημα ονομάζεται ημιτόνιο. Δύο ημιτόνια ισοδυναμούν με έναν τόνο. Έτσι δεδομένου ότι σε διάστημα ενός ημιτόνιου από τη Λα βρίσκεται η Λα#, η σχέση συχνοτήτων των δύο νοτών περιγράφεται από τον τύπο:
f_{Λα\#} = 2^{(1/12)} \cdot f_{Λα}
Στη σημερινή εποχή, έτσι κουρδίζεται και ένα πιάνο. Αυτή η μαθηματική αρχή κουρδίσαματος ονομάστηκε ισοσυγκερασμός και πέρασαν πολλοί αιώνες μέχρι να καταλήξουμε σε αυτόν. Μπορείτε στον παρακάτω σύνδεσμο να παίξετε ένα οποιοδήποτε λευκό πλήκτρο και το αμέσως διπλανό μαύρο. Πάντα το διάστημα μεταξύ αυτών των πλήκτρων είναι ένα ημιτόνιο.
Θεωρείται γενικώς αποδεκτό ότι το μουσικό διάστημα που ακούγεται πιο «ευχάριστα» στα αυτιά μας είναι η πέμπτη καθαρή, δηλαδή το διάστημα 7 ημιτονίων μεταξύ δύο νοτών i και j. Στο εικονικό πιάνο, παραπάνω, αν η νότα i είναι η C (βλ. Ντο) ποια θα είναι η νότα j;
Η σχέση συνχνοτήτων μεταξύ των δύο νοτών περιγράφεται από την παρακάτω εξίσωση:
f_{j} = 2^{(7/12)} \cdot f_{i}
Μπορούμε να υπολογίσουμε ότι 2(7/12) = 1,498. Προσεγγιστικά δηλδαδή 1,5 ή αλλιώς 3/2.
Άρα, προσεγγιστικά, αυτές οι δύο νότες έχουν μία σχέση αναλογίας 3:2 (διαβάζεται: τρία προς δύο).
Αντίθετα, το διάστημα που χωρίζεται από 6 ημιτόνια (= 3 τόνοι) λέγεται τρίτονο και κατά γενική παραδοχή θεωρείται ότι ηχεί «δυσάρεστα». Μάλιστα πριν από αιώνες είχε χαρακτηριστεί και ως diabolus in musica (στα ελληνικά τρίτονο του διαβόλου) καθώς ήταν συνδεδεμένο με τη μοχθηρία.
Η σχέση συχνοτήτων για δύο νότες αυτού του διαστήματος;
f_{j} = 2^{(6/12)} \cdot f_{i} = \sqrt{2} \cdot f_i
Κάτι που μπορεί να μας κινήσει την περιέργεια είναι το γεγονός ότι ο αριθμός √2 είναι άρρητος. Άρρητοι είναι οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν με την μορφή κλάσματος. Αντίθετα, εξ ορισμού κάθε αριθμός που μπορεί να αναπαρασταθεί σαν κλάσμα (π.χ. το 1,5) είναι ρητός.
Αυτή η παρατήρηση μάς οδηγεί σε μια ενδιαφέρουσα υπόθεση: ότι δηλαδή μια σχέση αναλογίας συχνοτήτων που εκφράζεται, έστω προσεγγιστικά, με ρητούς αριθμούς μπορεί να ηχεί «καλύτερα» από ό,τι με έναν άρρητο. Η σκέψη αυτή ενισχύεται και από την περίπτωση ενός άλλου διαστήματος που θεωρείται σύμφωνο, αυτό της μείζονος τρίτης (ή μεγάλης τρίτης) που χωρίζεται από 4 ημιτόνια. Ποιος τύπος περιγράφει αυτή τη σχέση;
Μαθηματικά, φυσική και… συναίσθημα
Γιατί όμως να παίζει τόσο καθοριστικό ρόλο η διάκριση μεταξύ ρητού και άρρητου αριθμού στη συχνοτική σχέση των διαστημάτων; Δεν υπάρχει τίποτε το «μαγικό» πίσω από αυτό το φαινόμενο. Ας πάρουμε αρχικά το παράδειγμα της 5ης καθαρής. Στο περιβάλλον Συνθετητής Ήχων της πλατφόρμας iMuSciCa, δημιουργούμε δύο εικονικές πηγές ταλάντωσης: μία για τη νότα Ντο (262 Hz) και μία για τη Σoλ (392 Hz).
Θα πρέπει να ακούτε αυτό τον ήχο αν παίξετε και τις δύο νότες μαζί:
Παρατηρώντας την κυματομορφή του σύνθετου κύματος (μάυρο χρώμα) εντοπίζουμε ένα μοτίβο που επαναλαμβάνεται ανά τακτά βήματα στον άξονα Χ, ο οποίος αντιστοιχεί στον χρόνο. Περνώντας από slide σε slide μπορούμε να συγκρίνουμε τις δύο επιμέρους ημιτονοειδείς κυματομορφές των νοτών Ντο και Σολ με το σύνθετο κύμα που παράγεται όταν αυτές παίζονται ταυτόχρονα.
Παρατηρούμε ότι ανά 2 επαναλήψεις του μοτίβου της Ντο έχουμε 1 επανάληψη του μοτίβου του σύνθετου κύματος, και όμοια ανά 3 επαναλήψεις του μοτίβου της Σολ. Με όρους κυματικής φυσικής λέμε ότι το σύνθετο κύμα μας έχει διπλάσια (x2) περίοδο από τη Ντο και τριπλάσια (x3) από τη Σολ. Θυμίζουμε ότι οι δύο αυτές νότες έχουν σχέση συχνοτήτων 3:2. Προφανώς δεν πρόκειται για τυχαίο γεγονός. Ουσιαστικά το μοτίβο του σύνθετου κύματος επαναλαμβάνεται κάθε στιγμή που συναντιούνται στον άξονα Χ οι κυματομορφές της Ντο και της Σολ. Για έναν λόγο α:β (όπου α>β), οι δύο κυματομορφές συναντιούνται στο άξονα Χ όταν το μοτίβο της πρώτης (η νότα αναφοράς) έχει επανληφθεί β φορές και της δεύτερης α φορές.
Τι γίνεται όμως αν δεν υπάρχει κανένα σημείο να συμπίπτουν στον άξονα Χ οι δύο κυματομορφές;
Το τρίτονο του διαβόλου
Αν αντί της Σολ (392 Hz) επιλέξουμε τη Φα# (370 Hz), τότε μπορούμε να οπτικοποιήσουμε και να ακούσουμε το τρίτονο του διαβόλου. Αν κοιτάξουμε προσκετικά, παρατηρούμε ότι η κυματομορφή δεν παρουσιάζει ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο. Άρα δεν μπορούμε να μιλάμε καν για περίοδο. Το παραγόμενο σύνθετο κύμα δεν είναι λοιπόν περιοδικό όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Εδώ, οι κυματομορφές της Ντο και της Φα# δεν συναντιούνται στον άξονα Χ. Η σχέση συχντοτητήτων τους (ο άρρητος √2) εξ ορισμού δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα!
Η μη-περιοδικότητα του εν λόγω κύματος μοιάζει όντως να είναι το ιδιαίτερο εκείνο στοιχείο που κάνει αυτό το διάστημα να μας «ξενίζει».
Ολόκληρη η αλήθεια
Πριν υιοθετήσουμε το σημερινό σύστημα κουρδίσματος, αυτό του ισοσυγκερασμού, χρησιμοποιούνταν άλλα συστήματα. Πολύ διαδεδομένο ήταν το λεγόμενο «Πυθαγόρειο κούρδισμα» που θα εξετάσουμε στο Μέρος ΙΙ της παρούσας Δραστηριότητας. Όπως και το Πυθαγόρειο κούρδισμα, γενικότερα τα παλιότερα κουρδίσματα επέμεναν να ορίζουν αυστηρά τα διαστήματα ως κλάσματα. Όχι κατά προσέγγιση, αλλά με αυστηρότητα! Έτσι, για παράδειγμα, η πέμπτη οριζόταν αυστηρά ως 3:2 και όχι προσεγγιστικά όπως σήμερα.
Άρα μπορεί να αναρωτηθεί κανείς: «Και το τρίτονο του διαβόλου ως κλάσμα (δηλαδή ως ρητός) δεν οριζόταν; Γιατί τόσος ντόρος ήδη από την εποχή του Μεσαίωνα;»
Αυτό είναι αλήθεια. Οπότε πρέπει να γίνουμε πιο ακριβείς και να εξετάσουμε το ζήτημα μας υπό αυτό το νέο πρίσμα!
Όπως θα δούμε στο Μέρος ΙΙ αυτής της Δραστηριότητας, ήδη από τα αρχαία χρόνια είχε παρατηρηθεί ότι διαστήματα που ορίζονται με λόγους μικρών φυσικών αριθμών (όπως 2:1; 3:2, 4:3) ηχούν αρμονικά.
Όπως είδαμε στην περίπτωση των διαστημάτων της πέμπτης ή της μεγάλης τρίτης, ακόμα κι αν οριστούν ως άρρητοι (όπως στο ισοσυγκερασμένο σύστημα) με μονάχα όμως μια πολύ μικρή απόκλιση από το 3/2 ή 5/4 αντίστοιχα, το αυτί μας τείνει να τα «διορθώνει»!
Τo θέμα με το τρίτονο λοιπόν είναι ότι, ακόμα και παλιά που οριζόταν ως κλάσμα, δεν ήταν ένα απλό κλάσμα, αλλά ένα κλάσμα (σχετικά) μεγάλων αριθμών. Στο Πυθαγόρειο κούρδισμα ήταν το διάστημα με τον πιο περίπλοκο λόγο από όλα τα άλλα: 729/512.
Άρα, το πρόβλημα δεν οφείλεται στενά στον διαχωρισμό ρητός-άρρητος. Αλλά στο ότι, όπως και να ορίσεις το τρίτονο, δεν θα είναι ποτέ (ούτε καν προσεγγιστικά) κοντά σε ένα απλό κλάσμα μικρών φυσικών αριθμών.
Σε κάθε περίπτωση πάντως, σε αυτή τη Δραστηριότητα αποκαλύψαμε επεξηγηματικά ότι απλότητα των συχνοτικών σχέσεων μεταξύ των κυμάτων που αντιστοιχούν σε κάθε νότα παίζει καθοριστικό ρόλο στο πόσο αποδεκτό αισθητικά είναι ένα μουσικό διάστημα στο ανθρώπινο αυτί.
