Μαθηματικά και Μουσικά Διαστήματα ΙΙ

Σκοπός του Μαθήματος

Στο Μέρος Ι αυτής της δραστηριότητας εστιάσαμε στα μουσικά διαστήματα θεωρώντας δεδομένο έναν συγκερασμό που στηρίζεται στο χωρισμό της οκτάβας σε 12 ισομερή διαστήματα, που το καθένα ορίζεται από τον λόγο √12. Αυτό το σύστημα κουρδίσματος λέγεται ισοσυγκερασμός. Προσπεράσαμε βιαστικά το ότι κάποια πολύ βασικά διαστήματα, όπως η καθαρή πέμπτη και η μείζων τρίτη, προσεγγίζουν απλά κλάσματα όπως το 3/2 και το 5/4, αντίστοιχα… αλλά δεν ταυτίζονται με αυτά. Πώς φτάσαμε εκεί;

Στην πραγματικότητα πέρασαν αιώνες μέχρι να καταλήξουμε σε αυτή τη μορφή συγκερασμού στη Δυτική Μουσική. Αυτό, σε έναν βαθμό οφείλεται στο ότι η μουσική μέχρι και στο μεσαίωνα δεν ήταν τόσο σύνθετη, γενικά, αλλά και ειδικότερα όσον αφορά την αρμονία (δηλαδή στη μουσική δομή που συγκροτείται όταν νότες παίζονται ταυτόχρονα).

Ο ορισμός ενός πρότυπου συστήματος συγκερασμού είναι βασική προϋπόθεση για να μπορούν να κατασκευάζονται και να κουρδίζονται μουσικά όργανα που λέγονται «συγκερασμένα» (όπως είναι για παράδειγμα το πιάνο ή η κιθάρα), στα οποία μπορούν να παιχτούν μόνο διακριτές νότες. Τα όργανα που δεν είναι συγκερασμένα ονομάζονται «ασυγκέραστα», με χαρακτηριστικό παραδείγματα το βιολί.

Τώρα, στο Μέρος ΙΙ, θα δούμε μια προσπάθεια από τα αρχαία χρόνια να οριστούν μουσικές κλίμακες (δηλαδή ακολουθίες νοτών) με αυστηρό μαθηματικό τρόπο. Γιατί όμως δεν χρησιμοποιούμε αυτήν την ιδιοφυή μέθοδο σήμερα;

Αυτή είναι η ιστορία που θα πούμε παρακάτω, εμπλέκοντας, από νότες, μήκη, κλάσματα και δυνάμεις, μέχρι προγραμματισμό υπολογιστών.

Το μονόχορδο και τα μουσικά διαστήματα

Στην αρχαιότητα, διάφοροι πολιτισμοί της Μέσης Ανατολής και της Μεσογείου πειραματίστηκαν με ένα ιδιαίτερο μουσικό όργανο που έχει μία μόνο χορδή (ή συχνά και δύο), της οποίας το μήκος και η τάση μπορεί να αλλάζει με κατάλληλους μηχανισμούς. Αυτό το όργανο φυσικο-μαθηματικού και μουσικού πειραματισμού αναφέρεται σήμερα συχνά ως «Μονόχορδο του Πυθαγόρα». Με αυτό το όργανο έγιναν μερικές σημαντικές παρατηρήσεις σχετικά με τα μαθηματικά του ήχου.

Μία από αυτές ήταν ότι παίζοντας τη χορδή σταθεροποιημένη με έναν καβαλάρη στη μέση, ο ήχος που παράγεται ηχεί αρμονικά με τον ήχο που βγαίνει όταν παίζουμε τη χορδή χωρίς τον καβαλάρη (ανοιχτή χορδή). Λέμε ότι η απόσταση των δύο αυτών νοτών είναι το διάστημα της οκτάβας. Η οκτάβα λοιπόν προκύπτει από τη σχέση που έχει η νότα που παράγει μία χορδή με συγκεκριμένο μήκος με τη νότα που προκύπτει εφόσον έχουμε διαιρέσει αυτό το μήκος με το 2, και έτσι αντιστοιχεί στον λόγο “δύο προς ένα”, ή 2:1.

Αυτήν τη σχέση μηκών μπορούμε να την κατασκευάσουμε και στο Μονόχορδο της εκπαιδευτικής πλατφόρμας iMuSciCA, στο περιβάλλον «Τρισδιάστατος σχεδιασμός εικονικού οργάνου». Για μία από τις δύο χορδές με μήκος 100cm, τοποθετούμε τον καβαλάρη στη θέση 100/2=50cm. Πατώντας με το ποντίκι μας πάνω στις χορδές μπορούμε να παράγουμε τον αντίστοιχο ήχο.

Οποιαδήποτε μελωδία μπορεί να παιχτεί σε διαφορετικές οκτάβες (π.χ. παίζοντας όλες τις νότες μία οκτάβα πιο ψηλά) χωρίς να αλλάζει ουσιαστικά η αίσθηση που μας δημιουργείται.

Σημείωση

Κατ’ αναλογία, μπορούμε να σκεφτούμε ότι περπατάμε κατά μήκους ενός χολ σε ένα ξενοδοχείο και κατόπιν απλά ανεβαίνουμε τη σκάλα και περπατάμε στο χολ του νέου ορόφου που είναι πανομοιότυπος.

Επίσης, μπορούμε να παίξουμε την ίδια μελωδία ταυτόχρονα σε διαφορετικές οκτάβες παράγοντας ένα αρμονικό αποτέλεσμα. Μπορούμε να ακούσουμε κάποια παραδείγματα. Ακούμε πρώτα μια μελωδία στο πιάνο:

Τώρα μπορούμε να ακούσουμε την ίδια μελωδία παιγμένη ταυτόχρονα σε δύο διαφορετικές οκτάβες και να επιβεβαιώσουμε ότι ηχεί αρμονικά:

Αντίθετα, αν διαλέξουμε ένα οποιοδήποτε άλλο διάστημα, οι δύο μελωδίες παιγμένες ταυτόχρονα ακούγονται λιγότερα αρμονικά. Ορίστε το παράδειγμα του διαστήματος της μεγάλης 7ης (δηλαδή διάστημα 11 ημιτονίων, αντίθετα από την οκτάβα που διαιρείται σε 12 ημιτόνια):

Εφόσον το διάστημα μίας οκτάβας αντιστοιχεί σε λόγο 2:1, ή απλώς 2, το διάστημα δύο οκτάβων θα αντιστοιχεί σε λόγο 2·2=2²=4. Των τριών οκτάβων σε λόγο 2·2·2=2³=8, και πάει λέγοντας.

Άρα όταν μιλάμε για οκτάβες πάντα αναφερόμαστε σε λόγο 2ⁿ όπου το n είναι ακέραιος αριθμός, δηλαδή παίρνει τιμές στο σύνολο Z={…,-2, -1, 0, 1, 2, …}.

Οι αρχαίοι μελετητές παρατήρησαν με την ακοή ότι οι λόγοι μικρών θετικών ακέραιων αριθμών (π.χ. 3:2, 4:3 κ.λπ.) μάς δίνουν αρμονικά διαστήματα (δηλαδή ευχάριστα στο αυτί).

Οι μικρότεροι δυνατοί φυσικοί αριθμοί που συγκροτούν λόγο μικρότερο 2:1 είναι το 3 και το 2. Προκύπτει λοιπόν ο λόγος 3:2. Αυτό είναι το διάστημα της καθαρής πέμπτης (στην οποία αναφερθήκαμε και στο Μέρος Ι της Δραστηριότητας). Η καθαρή πέμπτη έχει λόγο μικρότερο του 2, δηλαδή της οκτάβας, και θεωρείται και αυτό αρμονικό.

Αντίστοιχα, και αυτό το διάστημα μπορούμε να το παίξουμε στο εικονικό μας Μονόχορδο, αρκεί να μετακινήσουμε τον καβαλάρη στην κατάλληλη θέση. Συγκεκριμένα θέλουμε να χωρίσουμε τη χορδή μήκους 100cm στα δύο τρίτα της. Άρα πρέπει να μετακινήσουμε τον καβαλάρη στη θέση 100·(2/3)=66,666… Στρογγυλοποιώντας στα δέκατα προκύπτει ο αριθμός 66,7cm.

Μπορούμε επίσης να δούμε το διάστημα της οκτάβας και της πέμπτης στα πλήκτρα του πιάνου. Οι ίδιες νότες (επισημειωμένες πάνω στα πλήκτρα) επαναλαμβάνονται ανά 12 πλήκτρα (ή ημιτόνια), συμπεριλαμβανομένων των μαύρων. Παίξτε την Ντό (C) σε διάφορες οκτάβες και ακούστε τον ήχο:

https://www.musicca.com/piano

Σημείωση

Στο 1ο Μέρος της δραστηριότητας είδαμε ότι με αναφορά στην Ντο, η πέμπτη καθαρή είναι η Σολ (G).

Κάποιοι θα έχετε παρατηρήσει ότι το πιάνο με ουρά έχει χορδές διαφορετικού μήκους για κάθε πλήκτρο. Πατώντας ένα πλήκτρο ταλαντώνουμε την αντίστοιχη χορδή και παράγουμε την επιθυμητή νότα.

Μέχρι στιγμής έχουμε μιλήσει μόνο για τη σχέση μηκών χορδής που καθορίζουν δύο διαστήματα: την οκτάβα και την πέμπτη. Έτσι, θεωρώντας ότι χρησιμοποιούμε την ίδια τάση σε κάθε χορδή του πιάνου (όπως και με το μονόχορδο του iMuSciCA) και επιλέγοντας ως νότα αναφοράς, για παράδειγμα, την Ντο, με μήκος χορδής Χ, ξέρουμε μόνο ότι η Ντο της επόμενης οκτάβας θα αντιστοιχεί σε χορδή μήκους Υ=(1/2)·Χ και η Σολ σε χορδή μήκους Υ=(2/3)·Χ. Δεν έχουμε μιλήσει όμως για όλες τις υπόλοιπες νότες. Πώς θα καθορίσει ο κατασκευαστής του οργάνου το μήκος που αντιστοιχεί σε κάθε νότα;

Πέρα από το κούρδισμα της πέμπτης

Στην αρχαιότητα, θεωρήθηκε από μελετητές ότι πρέπει να πάρουμε σαν βάση μας το διάστημα της πέμπτης. Αλλά χρειαζόταν να ορίσουν με απλό μαθηματικό τρόπο και άλλα διαστήματα. Έτσι, πρότάθηκε, ξεκινώντας από μια οποιαδήποτε νότα αναφοράς να βρούμε αρχικά την πέμπτη, μετά την πέμπτη της πέμπτης, ύστερα την πέμπτη της προηγούμενης πέμπτης, και πάει λέγοντας, πολλαπλασιάζοντας κάθε φορά με το κλάσμα 3/2. Αυτή η διαδικασία μπορεί να αναπαρασταθεί σχηματικά μέσω του λεγόμενου κύκλου των πέμπτων:

Όπως βλέπουμε, βάσει του κύκλου των πεμπτών, εάν ξεκινήσουμε από την Ντο και κάνουμε 12 βήματα στη φορά του ρολογιού, από πέμπτη σε πέμπτη, θα φτάσουμε πάλι σε ένα Ντο, το οποίο θα είναι μερικές οκτάβες ψηλότερα (θα δούμε παρακάτω πόσες). Συγκεκριμένα ακολουθούμε τη διαδρομή: Ντο, Σολ, Ρε, Λα, Μι, Σι, Φα♯/Σολ♭, Ντο♯/Ρε♭, Σολ♯/Λα♭, Ρε♯/Μι♭, Λα♯/Σι♭, Φα, Ντο.

Αυτή η διαδικασία, θεωρητικά, ισοδυναμεί με το να εκκινήσουμε από τον λόγο της πέμπτης (3/2) και να τον υψώσουμε σε δυνάμεις μικρών ακέραιων αριθμών: από το 0 έως το 12.

Για να καταλήξουμε σε πιο απλά κλάσματα, μπορούμε να κατασκευάσουμε κάποιους λόγους σκεπτόμενοι αντίστροφα: «Ποιας νότας η πέμπτη είναι η Ντο (και πάει λέγοντας);». Μ’ αυτή τη λογική κινούμαστε ανάποδα από τη φορά του ρολογιού. Αυτό ισοδυναμεί με το να υψώσουμε το κλάσμα 3/2 και σε αρνητικούς ακέραιους. Τελικά επιλέγουμε κινηθούμε μισό κύκλο δεξιόστροφα και μισό αριστερόστροφα. Άρα υψώνουμε το 3/2 σε θετικούς ακέραιους από το 1 έως το 6, και σε αρνητικούς ακέραιους από το -1 έως το -5. Αυτός είναι ένας τρόπος να ορίσουμε και τις 12 νότες της Δυτικής Μουσικής με σχετικά απλά κλάσματα. Εν προκειμένω, ας εστιάσουμε μόνο στις παρακάτω δυνάμεις:

\Big(\frac{3}{2}\Big)^{\!\!\!\!\phantom{\frac{1}{2}}-1}\!\mkern-3mu = \!\frac{2}{3}\kern0.5em,\kern0.5em \Big(\frac{3}{2}\Big)^{\!\!\!\!\phantom{\frac{1}{2}}0}\!\mkern-3mu = \!1\kern0.5em,\kern0.5em \Big(\frac{3}{2}\Big)^{\!\!\!\!\phantom{\frac{1}{2}}1}\!\mkern-3mu = \!\frac{3}{2}\kern0.5em,\kern0.5em \Big(\frac{3}{2}\Big)^{\!\!\!\!\phantom{\frac{1}{2}}2}\!\mkern-3mu = \!\frac{9}{4}\kern0.5em,\kern0.5em \Big(\frac{3}{2}\Big)^{\!\!\!\!\phantom{\frac{1}{2}}3}\!\mkern-3mu = \!\frac{27}{8}\kern0.5em,\kern0.5em \Big(\frac{3}{2}\Big)^{\!\!\!\!\phantom{\frac{1}{2}}4}\!\mkern-3mu = \!\frac{81}{16}\kern0.5em,\kern0.5em \Big(\frac{3}{2}\Big)^{\!\!\!\!\phantom{\frac{1}{2}}5}\!\mkern-3mu = \!\frac{243}{32}

Παρατηρούμε ότι κάποια από αυτά τα διαστήματα έχουν λόγο μεγαλύτερο της οκτάβας, δηλαδή του 2:1. Για παράδειγμα, το 9/4=2,25 και το 27/8=3,375 είναι μεγαλύτερα από το 2/1=2.

Μπορούμε να τα φέρουμε όλα στην ίδια οκτάβα διαιρώντας ή πολλαπλασιάζοντας το καθένα με το 2 όσες φορές χρειαστεί για να φτάσουν να είναι μεταξύ 1 και 2.

Η διαδικασία αυτή μπορεί φυσικά να πραγματοποιηθεί με το χέρι, αλλά μπορεί να υλοποιηθεί και σε μορφή προγράμματος στον υπολογιστή. Εδώ επιλέγουμε να χρησιμοποιήσουμε την ευρέως διαδεδομένη γλώσσα προγραμματισμού Python. Όποιος και όποια επιθυμεί μπορεί να εξετάσει και να τροποποιήσει τον κώδικα στα σημεία που υποδεικνύεται με μορφή σχολίων (με το σύμβολο “#”). Στην τελική του μορφή, το πρόγραμμα πρέπει να φέρνει όλους τους λόγους στο διάστημα [1,2]. Πατήστε στο παρακάτω εικονίδιο για να μεταφερθείτε στο κατάλληλο προγραμματιστικό περιβάλλον:

Αφού το κάνουμε αυτό για όλα τα διαστήματα που χρειάζεται, αποκτούμε τους παρακάτω λόγους:

\frac{4}{3}\kern0.5em,\kern0.5em 1\kern0.5em,\kern0.5em \frac{3}{2}\kern0.5em,\kern0.5em \frac{9}{8}\kern0.5em,\kern0.5em \frac{27}{16}\kern0.5em,\kern0.5em \frac{81}{64}\kern0.5em,\kern0.5em \frac{243}{128}

Ας τοποθετήσουμε αυτά τα διαστήματα σε αύξουσα σειρά, δηλαδή ξεκινώντας από τον μικρότερο λόγο και φτάνοντας στον μεγαλύτερο. Τώρα έχουμε αυτήν την ακολουθία λόγων:

1\kern0.5em,\kern0.5em \frac{9}{8}\kern0.5em,\kern0.5em \frac{81}{64}\kern0.5em,\kern0.5em \frac{4}{3}\kern0.5em,\kern0.5em \frac{3}{2}\kern0.5em,\kern0.5em \frac{27}{16}\kern0.5em,\kern0.5em \frac{243}{128}

Σημείωση

Οι λόγοι αυτοί δεν αντιστοιχούν μόνο στα μήκη των χορδών που παράγουν κάθε νότα, αλλά και στους λόγους της συχνότητας της κάθε νότας με την αρχική νότα αναφοράς (όπως είδαμε και στο Μέρος Ι της Δραστηριότητας).

Αυτή η ακολουθία είναι μια κλίμακα που το κούρδισμα στο οποίο βασίζεται αποκαλείται «Πυθαγόρειος συγκερασμός» ή «Πυθαγόρειο κούρδισμα».

Ιστορική Σημείωση

Ο Πυθαγόρας και οι αρχαίοι Έλληνες γενικότερα, δεν ήταν ούτε οι πρώτοι εφευρέτες του μονόχορδου, και κυρίως, δεν ήταν οι πρώτοι που πρότειναν το λεγόμενο σήμερα «Πυθαγόρειο κούρδισμα». Το εν λόγω κούρδισμα είχε συλληφθεί νωρίτερα στη Μεσοποταμία και από εκεί, μαζί με πολλά άλλα μουσικά στοιχεία της περιοχής, μεταφέρθηκε σε άλλους πολιτισμούς, μεταξύ αυτών και στον ελληνικό.

Αν για παράδειγμα επιλέξουμε σαν αρχική νότα την Ντο, τότε με τον παραπάνω τρόπο ορίζεται σε Πυθαγόρειο κούρδισμα η κλίμακα:

Ντο-Ρε-Μι-Φα-Σολ-Λα-Σι

(Στην αγγλοσαξονική σημειογραφία: C – D – E – F – G – A – B)

Άσκηση

Παραθέστε τους λόγους που αντιστοιχούν στις υπόλοιπες νότες: Λα#, Ρε#, Σολ#, Ντο#, Φα# χρησιμοποιώντας στον κύκλο των πεμπτών.

Σε αυτές τις νότες αντιστοιχούν τα λευκά πλήκτρα του πιάνου.

Στο εικονικό πιάνο παραπάνω μπορούμε να παίξουμε στα λευκά πλήκτρα την αρχή από το «Φεγγαράκι μου Λαμπρό» ακολουθώντας τις νότες: C C G G A A G. Αν αντί να ξεκινήσουμε από την Ντο (C), ξεκινήσουμε από τη Μι (Ε) θα χρειαστεί να παίξουμε και κάποια μαύρα πλήκτρα: Ε Ε B Β C# C# B.

Αυτή τη μετατόπιση του σημείου εκκίνησής της μελωδίας είναι σημαντικό για τους μουσικούς να την κάνουν με οποιαδήποτε μελωδία επιλέξουν από οποιαδήποτε αρχική νότα θέλήσουν. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει για παράδειγμα τα διάστημα πέμπτης Μι-Σι (Ε-Β) να ορίζεται με λόγο 3/2 όπως το διάστημα Ντο-Σολ (C-G). Όντως αν διαιρέσουμε το 243/128 (Ντο-Σι) με το 81/64 (Ντο-Μι) παίρνουμε σαν αποτέλεσμα 1,5=3/2. Μια χαρά λοιπόν! Είμαστε εξασφαλισμένοι με το Πυθαγόρειο κούρδισμα…

Ή μήπως όχι;

Το πρόβλημα με το Πυθαγόρειο κούρδισμα

Το Πυθαγόρειο κούρδισμα ακολουθεί μία πολύ απλή μαθηματική αρχή. Μοιάζει σχεδόν «μαγικό» πώς μπορείς με μια τόσο λιτή μέθοδο να αποκαλύψεις τους νόμους της φύσης…

Αλίμονο! Η φύση δεν μας χαρίζεται πάντα σε απλότητα. Το κούρδισμα του Πυθαγόρα δεν συμβιβάζεται με τη βασική μαθηματική και ψυχοακουστική αρχή ότι το διάστημα μίας οκτάβας έχει λόγο 2:1.

Ας δούμε πιο αναλυτικά πώς ανακύπτει το πρόβλημα. Για λίγο ας ξεχάσουμε την έξυπνη μας μέθοδο να κινηθούμε μισό κύκλο αριστερά και μισό κύκλο δεξιά στον κύκλο των πεμπτών. Άλλωστε, κανονικά, κινούμενοι όλο δεξιά μπορούμε πάλι να ορίσουμε τις νότες μας όμορφα κι ωραία βηματάκι βηματάκι. Κάποια στιγμή θα φτάσουμε φυσικά ξανά στην Ντο, όμως μεγαλύτερης οκτάβας.

Ο λόγος συχνοτήτων (ή μηκών χορδής) μεταξύ των δύο νοτών Ντο φαίνεται παρακάτω:

\left(\frac{3}{2}\right)^{12} \approx 129.746.

Άμα όμως αυτή η τελευταία νότα είναι όντως Ντο, όπως έχουμε ήδη δει, ο λόγος μεταξύ δύο νοτών που απλώς απέχουν κάποιες οκτάβες θα πρέπει να μπορεί να γραφτεί ως 2ⁿ, όπου το n είναι ακέραιος. Αυτό όμως δεν ισχύει!

Γενικότερα, δεν υπάρχουν ακέραια m και n που να λύνουν την εξίσωση

2^n = (3/2)^m.

Απόδειξη

Έστω ότι υπάρχει m τέτοιο ώστε για κάθε n να ισχύει:

2^n = (3/2)^m \Leftrightarrow 2^n \cdot 2^m = 3^m \Leftrightarrow 2^{n+m} = 3^m

Καταλήξαμε σε άτοπο, γιατί το αριστερό μέλος της εξίσωσης είναι άρτιος αριθμός και το δεξί περιττός.

Η κοντινότερη Ντο που μπορούμε να βρούμε στον λόγο 129.746 βασιζόμενοι στις δυνάμεις του 2 έιναι το 2⁷=128, δηλαδή η 7η οκτάβα. Οι δύο λόγοι έχουν μεταξύ τους μια μικρή αλλά σημαντική διαφορά. Αυτή η διαφορά ονομάζεται «Πυθαγόρειο Κόμμα».

Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι στον Πυθαγόρειο συγκερασμό το διάστημα της οκτάβας δεν ηχεί όπως θα έπρεπε, αφού αποκλίνει από το 2:1. Είναι δηλαδή φάλτσο.

Στο παρακάτω βίντεο δείχνουμε με εργαλεία του iMuSciCA τις μεταβάσεις του τον κύκλου των πεμπτών σε ένα σύστημα συγκερασμού που δεν παρουσιάζει το πρόβλημα του Πυθαγόρειου κουρδίσματος. Αξιοποιούμε τα εργαλεία Σαλίγκαρος και Τονικός Δίσκος. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το περιβάλλον Συνθετητής Ήχων, επιλέγοντας ως νότα αναφοράς τη νότα Ντο (65,4Hz) από την οποία ξεκίνησε ο κύκλος μας, αναπαράγουμε και οπτικοποιούμε ακόμη τον ήχο της 7ης οκτάβας (2⁷·65,4 = 8371,2 Hz) και τον αντίστοιχο ήχο που προκύπτει από το Πυθαγόρειο κούρδισμα ([3/2]¹² · 65,4 = 8485,4 Hz). Πάνω δεξιά, στο εργαλείο Σαλίγκαρος μπορούμε να δούμε ότι ο τελευταίος ήχος αποκλίνει από την οκτάβα. Η διαφορά βέβαια δεν είναι εύκολο να ακουστεί σε τόσο μεγάλες συχνότητες με το αυτί.

Σημείωση: τα εργαλεία Σαλίγκαρος και Τονικός Δίσκος στο iMuSciCA δεν αναπαριστούν τον κύκλο των πεμπτών, αλλά των χρωματικό κύκλο. Δηλαδή κάθε βήμα αντιστοιχεί σε ένα διάστημα ημιτόνιου (και όχι πέμπτης).

Προσοχή! Μην βάζετε πολύ δυνατά τον ήχο στο βίντεο.

Άσκηση

Δοκιμάστε να πειραματιστείτε κι εσείς. Στο περιβάλλον του Συνθετητή Ήχου (Tone Synthesizer) του iMuSciCA ορίστε έναν ταλαντωτή με συχνότητα το Ντο μιας οκτάβας χαμηλότερα (32.7Hz), έναν ακόμα για το «προβληματικό» Ντο όπως ορίζεται βάσει του λόγου (3/2)^12, και έναν τελευταίο ταλαντωτή για το «σωστό» Ντο, 7 οκτάβες ψηλότερα από το αρχικό. Αναπαράγοντας τους δύο τελευταίους ήχους τον έναν μετά τον άλλο θα μπορείτε να διακρίνετε τη συχνοτική τους απόκλιση με το αυτί σας.

Γιατρεύεται το πρόβλημα;

Το πρόβλημα με το κούρδισμα του Πυθαγόρα επιχειρήθηκε να προσπεραστεί με το να εξασφαλιστεί ότι το 12ο, δηλαδή το τελευταίο βήμα στον κύκλο των πεμπτών, δεν θα είναι ακριβώς 3/2.

Πόσο πρέπει να είναι το «διορθωμένο» 12ο διάστημα;

Αν ονομάσουμε το 12o διάστημα x, τότε θα πρέπει να ισχεύιε:

\left(\frac{3}{2}\right)^{11} \cdot x=128 \Rightarrow x = \frac{128\cdot2^{11}}{3^{11}} = \frac{262144}{177147} = 1.4798

Στο παράδειγμά μας, που επιλέγουμε ως νότα αναφοράς την Ντο, το εν λόγω διάστημα είναι το Φα-Ντο.

Δυστυχώς, για άλλη μια φορά δεν πετυχαίνουμε τον σκοπό μας. Αυτό το διάστημα όπως ορίστηκε εκ νέου, διορθωμένο, δεν ηχεί όμορφα. Μάλιστα ηχεί τόσο άσχημα που στη θεωρία της μουσικής ονομάστηκε πέμπτη του λύκου, σε αναλογία με το αλύχτισμα των λύκων. Έτσι, για αιώνες απέφευγαν να παίζουν αυτό το διάστημα. Αυτό δημιουργεί το τεράστιο πρόβλημα ότι μια μελωδία δεν μπορούσε να μεταφερθεί ελεύθερα σε άλλο τονικό ύψος, να μπορούμε δηλαδή να την παίζουμε ξεκινώντας από οποιαδήποτε άλλη νότα, όπως κάναμε με το «Φεγγαράκι μου Λαμπρό».

Σημείωση

Επίσης, συχνά σε ένα κομμάτι δεν περιοριζόμαστε σε μια κλίμακα 7 νότων όπως η Ντο-Ρε-Μι-Φα-Σολ-Λα-Σι (βλέπε, κλίμακα Ντο μείζονα) που αναφέραμε παραπάνω. Μέσα στο ίδιο κομμάτι μπορεί να αλλάξουμε κλίμακα (ή να χρωματίσουμε την κλίμακα μας με νότες εκτός αυτής) και να χρειαστεί να παίξουμε και άλλα διαστήματα. Αν πρέπει ντε και καλά να αποφεύγουμε το διάστημα του λύκου, σίγουρα περιοριζόμαστε καλλιτεχνικά.

Μπορείτε να ακούσετε την πέμπτη του λύκου σε αυτό το βίντεο:

Άσκηση

Στο περιβάλλον του Συνθετητή Ήχου (Tone Synthesizer) του iMuSciCA, μπορείτε να κατασκευάσετε οι ίδιοι το διάστημα του λύκου. Επιλέξτε για παράδειγμα την Ντο με συχνότητα 261.6Hz και τη Φα κουρδισμένη βάσει του Πυθαγόρειου συγκερασμού με συχνότητα (262144/177147)·261,6=387,1Hz. Ο ήχος βέβαια δεν θα ακουστεί το ίδιο άσχημα γιατί στο συγκεκριμένο περιβάλλον χρησιμοποιούμε ήχο από καθαρά ημίτονα (δηλαδή χωρίς ηχόχρωμα). Έτσι, οι νότες δεν αλληλεπιδρούν με τον ίδιο τρόπο όπως στα φυσικά όργανα, τα οποία παράγουν μερικές συχνότητες, και όταν παίζονται μαζί είναι πιθανό να προκύψουν ενοχλητικές δυσαρμονίες. Σε αυτό παίζει ρόλο το φαινόμενο του διακροτήματος.

Μήπως;

Μπορεί κανείς να φέρει την αντίρρηση ότι πιο πάνω ορίσαμε το Φα κινούμενοι ένα βήμα αριστερά στον κύκλο των πεμπτών, αντί να κάνουμε 11 βήματα δεξιά. Έτσι το διάστημα Ντο-Φα με λόγο 4/3 ακούγεται σύμφωνο.

Αυτό ισχύει! Το πρόβλημα όταν ακολουθούμε τη συγκεκριμένη μέθοδο ανακύπτει με άλλο τρόπο.

Κανονικά, είτε κάνουμε κάνουμε 6 βήματα αριστερόστροφα, είτε 6 βήματα δεξιόστροφα στον κύκλο των πεμπτών, θα έπρεπε να καταλήγουμε στην ίδια νότα: στη Φα# (ή αλλιώς Σολ♭). Κι όμως, αυτό δεν ισχύει! Στην πρώτη περίπτωση προκύπτει λόγος 729/512 και στη δεύτερη 1024/729. Άρα αν θέλουμε να βάλουμε κι αυτή τη νότα στη μουσική που θέλουμε να παίξουμε ως καλλιτέχνες-εκτελεστές, πάλι θα χρειαστεί μια αντίστοιχη «διόρθωση» σε κάποιο διάστημα· το οποίο και θα πρέπει να αποφεύγουμε όταν παίζουμε.

Κι άλλα προβλήματα!

Ένα δεύτερο πρόβλημα είναι ότι, με βάση τον Πυθαγόρειο συγκερασμό, οι συχνότητες κάποιων νοτών δεν ταιριάζουν με τις συχνότητες των αρμονικών που προέρχονται από την αρμονική στήλη. Όπως εξηγούμε στο μάθημα Η Αντίληψη της Χροιάς (Ενότητα 3), αν η αρχική Ντο έχει συχνότητα f, τότε η πρώτη αρμονική έχει συχνότητα 2f, η τρίτη 3f, η τέταρτη 4f κ.λπ. Εξηγήσαμε επίσης ότι παίζοντας μια νότα από μία φυσική πηγή (π.χ. μία χορδή) δημιουργούμε έναν ήχο που περιέχει, πέραν της θεμελιώδους συχνότητας f, όλες τις αρμονικές (2f, 3f, …) με διαφορετικά πλάτη για την κάθε μία.

Οι αρμονικές είναι σημαντικές στην κατασκευή μιας κλίμακας επειδή μπορούν να αποτελέσουν την βάση των μουσικών διαστημάτων της κλίμακας, έτσι ώστε το αυτί να τα αναγνωρίζει σαν σωστά διαστήματα. Έτσι, το διάστημα Ντο-Μι (που στη μουσική ορολογία ονομάζεται μεγάλη τρίτη) προκύπτει από τον λόγο της Ντο την 5η αρμονική. Μπορούμε να υπολογίσουμε ότι ο λόγος αυτός είναι 5:4.

Όπως είδαμε όμως νωρίτερα, το διάστημα Ντο-Μι στο Πυθαγόρειο κούρδισμα προκύπτει από τον λόγο 81:64, το οποίοι δεν ισούται με το 5:4 (=80:64) που μας δίνει η αρμονική στήλη.

Σημείωση

Το πρόβλημα εμφανίζεται κυρίως όταν οι δύο νότες παιχτούν ταυτόχρονα. Αυτό συμβαίνει γιατί ακούγονται ταυτόχρονα και η ίδια «Πυθαγόρεια» Μι και (μεταξύ άλλων) η 5η αρμονική της Ντο που είναι η «σωστή» Μι. Εφόσον πρόκειται για πολύ κοντινές αλλά διακριτές συχνότητες, δημιουργείται διακρότημα και ο ήχος ακούγεται δυσαρμονικός. (Για το φαινόμενο του διακροτήματος δες τη δραστηριότητα “Σύνθετοι Ήχοι: Διακρότημα”.)

Κλείνοντας…

Δίκαια, θα θέσει κανείς το ερώτημα: Γιατί δεν ορίζουμε έναν συγκερασμό βάσει της αρμονικής στήλης;

Αυτή είναι μία πορεία που ακολουθήθηκε στην ιστορία περιλαμβάνοντας διάφορους πειραματισμούς. Αλλά και σε αυτόν προέκυψαν σημαντικά προβλήματα! Θα αφήσουμε αυτήν την ιστορία για μια άλλη Δραστηριόητα.